儿媳不赡养公婆在法律上通常不构成违法，因为儿媳对公婆没有法定的赡养义务，但儿媳有协助丈夫履行赡养义务的责任。

如果儿媳不管父母亲戚，公婆不能直接起诉儿媳，因为儿媳没有直接的赡养义务。但是，如果公婆的儿子去世，儿媳继承了儿子的遗产，那么公婆可以要求儿媳在继承遗产的范围内承担一定责任。另外，若儿媳与公婆签订了赡养协议，明确约定了赡养义务，当儿媳不履行协议时，公婆可以依据该协议向法院起诉。

对于公婆能否起诉丈夫的问题，如果丈夫不履行赡养义务，公婆可以以自己的名义起诉丈夫，要求其履行赡养义务。法院会根据实际情况，如老人的实际生活需求、子女的经济状况等因素确定赡养费数额和支付方式。如果子女有能力赡养却拒绝赡养，情节恶劣的，可能构成遗弃罪，会面临刑事处罚。

综上所述，公婆不能直接因儿媳不管父母亲戚而起诉儿媳，但可以起诉丈夫要求其履行赡养义务。如果存在特殊情况，如继承遗产或有赡养协议，公婆的权益可以通过法律途径维护。